一、立體幾何知識點歸納

第一章 空間幾何體

（一）空間幾何體的結構特征

（1）多面體——由若干個平面多邊形圍成的幾何體.

     圍成多面體的各個多邊形叫叫做多面體的面，相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點叫做頂點。

     旋轉體——把一個平面圖形繞它所在平面內的一條定直線旋轉形成的封閉幾何體。其中，這條定直線稱為旋轉體的軸。

（2）柱，錐，臺，球的結構特征

  1.棱柱

  1.1棱柱——有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。

1.2相關棱柱幾何體系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的關系：

①

②四棱柱  底面為平行四邊形  平行六面體   側棱垂直于底面  直平行六面體 底面為矩形

      長方體  底面為正方形   正四棱柱  側棱與底面邊長相等  正方體

1.3棱柱的性質：

①側棱都相等，側面是平行四邊形；

②兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；

③過不相鄰的兩條側棱的截面是平行四邊形；

④直棱柱的側棱長與高相等，側面與對角面是矩形。

1.4長方體的性質：

①長方體一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱的平方和；【如圖】 

②（了解）長方體的一條對角線與過頂點A的三條棱所成的角分別是，那么，；

③（了解）長方體的一條對角線與過頂點A的相鄰三個面所成的角分別是，則，.

1.5側面展開圖：正n棱柱的側面展開圖是由n個全等矩形組成的以底面周長和側棱長為鄰邊的矩形.

1.6面積、體積公式：（其中c為底面周長，h為棱柱的高）

2.圓柱

2.1圓柱——以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱.

2.2圓柱的性質：上、下底及平行于底面的截面都是等圓；過軸的截面（軸截面）是全等的矩形.

2.3側面展開圖：圓柱的側面展開圖是以底面周長和母線長為鄰邊的矩形.

2.4面積、體積公式：

S圓柱側=；S圓柱全=，V圓柱=S底h=（其中r為底面半徑，h為圓柱高）

3.棱錐

3.1棱錐——有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。

   正棱錐——如果有一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。

3.2棱錐的性質：

①平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；

②正棱錐各側棱相等，各側面是全等的等腰三角形；

③正棱錐中六個元素，即側棱、高、斜高、側棱在底面內的射影、斜高在底面的射影、底面邊長一半，構成四個直角三角形。）（如上圖：    為直角三角形）

3.3側面展開圖：正n棱錐的側面展開圖是有n個全等的等腰三角形組成的。

3.4面積、體積公式：S正棱錐側=，S正棱錐全=，V棱錐=.（其中c為底面周長，側面斜高，h棱錐的高）

4.圓錐

4.1圓錐——以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐。

4.2圓錐的性質：

①平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；

②軸截面是等腰三角形；如右圖：

③如右圖：.

4.3圓錐的側面展開圖：圓錐的側面展開圖是以頂點為圓心，以母線長為半徑的扇形。

4.4面積、體積公式：

S圓錐側=，S圓錐全=，V圓錐=（其中

r為底面半徑，h為圓錐的高，l為母線長）

5.棱臺

5.1棱臺——用一個平行于底面的平面去截棱錐，我們把截面與底面之間的部分稱為棱臺.

5.2正棱臺的性質：

①各側棱相等，各側面都是全等的等腰梯形；

②正棱臺的兩個底面以及平行于底面的截面是正多邊形；

③ 如右圖：四邊形都是直角梯形

④棱臺經常補成棱錐研究.如右圖：，注意考慮相似比.

5.3棱臺的表面積、體積公式：側，，（其中是上，下底面面積，h為棱臺的高）

6.圓臺

6.1圓臺——用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺.

6.2圓臺的性質：

①圓臺的上下底面，與底面平行的截面都是圓；

②圓臺的軸截面是等腰梯形；

③圓臺經常補成圓錐來研究。如右圖：

，注意相似比的應用.

6.3圓臺的側面展開圖是一個扇環；

6.4圓臺的表面積、體積公式：，

V圓臺，（其中r，R為上下底面半徑，h為高）

7.球

7.1球——以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓旋轉一周形成的旋轉體叫做球體，簡稱球.

或空間中，與定點距離等于定長的點的集合叫做球面，球面所圍成的幾何體叫做球體，簡稱球；

7.2球的性質：

①球心與截面圓心的連線垂直于截面；

②（其中，球心到截面的距離為d、球的半徑為R、截面的半徑為r）

7.3球與多面體的組合體：球與正四面體，球與長方體，球與正方體等的內接與外切.

注：球的有關問題轉化為圓的問題解決.

7.4球面積、體積公式：（其中R為球的半徑）

例：（06年福建卷）已知正方體的八個頂點都在球面上，且球的體積為，則正方體的棱長為_________

（二）空間幾何體的三視圖與直觀圖

1.投影：區分中心投影與平行投影。平行投影分為正投影和斜投影。

2.三視圖——是觀察者從三個不同位置觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形；

正視圖——光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖；

側視圖——光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖；

正視圖——光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖；

注：（1）俯視圖畫在正視圖的下方，“長度”與正視圖相等；側視圖畫在正視圖的右邊，“高度”與正視圖相等，“寬度”與俯視圖。（簡記為“正、側一樣高，正、俯一樣長，俯、側一樣寬”.

   （2）正視圖，側視圖，俯視圖都是平面圖形，而不是直觀圖。

3.直觀圖：

  3.1直觀圖——是觀察著站在某一點觀察一個空間幾何體而畫出的圖形。直觀圖通常是在平行投影下畫出的空間圖形。

  3.2斜二測法：

step1：在已知圖形中取互相垂直的軸Ox、Oy，（即取 ）；

step2：畫直觀圖時，把它畫成對應的軸，取，它們確定的平面表示水平平面；

step3：在坐標系中畫直觀圖時，已知圖形中平行于數軸的線段保持平行性不變，平行于x軸（或在x軸上）的線段保持長度不變，平行于y軸（或在y軸上）的線段長度減半。

結論：一般地，采用斜二測法作出的直觀圖面積是原平面圖形面積的倍.

解決兩種常見的題型時應注意：（1）由幾何體的三視圖畫直觀圖時，一般先考慮“俯視圖”.

（2）由幾何體的直觀圖畫三視圖時，能看見的輪廓線和棱畫成實線，不能看見的輪廓線和棱畫成虛線。